幼儿园老师曾经告诉过我们，自然数是0，1，2，3…，无穷无尽，这辈子都数不完。
可是你有没有想过，两个无穷的数列，能不能比较它们的大小呢？比如自然数和偶数的集合，哪个包含的数更多呢？
让我们把它们里的元素一一写下来：
0，1，2，3，4，5自然数包括0吗，6，7…
很多人心想：这太简单啦，一半奇数，一半偶数，所以非负偶数的个数，肯定是自然数的一半啊！
小心！现在这堆数字是无穷无尽的，我们还能用这种方式比较它们哪个多、哪个少吗？
让我们换个思路，把它们写成两行：
集合一 – 自然数：0，1，2，3自然数包括0吗，4，5…
集合二 – 偶数：0中创网，2，4，6，8，10…
然后，在每组加上箭头：
咦？如此一来，所有的自然数，和偶数一一对应了！
得出结论：自然数和偶数一样多！
这看起来有道理，但是，等等！
这里有n个奇数，n个偶数，所有自然数的数量是2n。自然数的数量2n=偶数的数量n，即2n=n，从而2=1！岂不是过去所有的数学知识都轰然崩塌？
不难发现，无穷大情况下的加法不一定成立，当n是无穷大时，n+n是个模糊的概念，没人能说得清楚它是什么含义。
所以在无穷的情况下，我们不能再用这种原始的方法来比较两个集合的大小。我们得创造一种更加不容易翻车的方式，来比较集合的大小：一一对应。
这个办法，既不会让有限集合的比较方式出问题，还使无限集的比较变得简单：只要能建立一一对应关系，它们就是一样大！哪怕一个集合看起来是另一个集合的一部分！
让我们看看几个一样大的集合：
（我们暂且把 => 读作“对应到”或者“映射到”）
1、自然数 VS 偶数，n=>2n；
2、自然数 VS 奇数，n => 2n+1；
3、整数 VS 自然数，需要一些小技巧：
（1）0 => 0，
（2）n>0时，n => 2n-1，
（3）n -2n；
看不懂公式？不怕，上图！
4、自然数 VS有理数
这需要更多的技巧了。按直觉，分数应该比自然数多得多才是。但前面的故事告诉我们，直觉不一定准确，还有可能带来逻辑悖论！让我们来把所有的有理数写完：
如何建立一一对应的关系呢？如果横着数，第一行已经是无穷个了，永远数不到第二行。这么看，似乎有理数是一个比自然数更大的无穷？
让我们调整一下画风（请原谅这条手绘的曲线）
按这种斜对角线的方式画画，每个有理数都被遍历了！它和自然数又可以一一对应了！完美！
最后，大家留下一道思考题：
自然数（0，1，2，3，4…）和正整数（1，2，3，4…），哪个集合元素更多？
读到这里，有人可能会问，是不是所有的集合都可以被一个个列出来，然后得出结论：所有的无穷大的集合，都和自然数一样多，都一样大？
答案是否定的，如果真是这样，我们也没有必要这么苦苦研究无穷集合了。什么样的集合，我们不论多么努力，都无法像自然数一样列举它的元素个数呢？请听下回分解。
参考文献：
程其襄《实变函数与泛函分析基础》
G·伽莫夫《从一到无穷大》
李永乐 《无穷大和无穷大+1谁更大》
