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一、 标量和矢量的定义
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标量 Scalar – heat and mass are scalars.
只具有数值大小magnitude，而没有方向的量叫做“标量”。这些量之间的运算遵循一般的代数法则。如质量、密度、温度、功、能量、路程、速率、体积、时间、热量、电阻等物理量。无论选取什么坐标系，标量的数值恒保持不变。
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矢量Vector- Heat and mass fluxes are vectors.
亦称“向量”。有些物理量physical quantities，是由数值大小和方向才能完全确定的，这些物理量称为“向量”。这些量之间的运算并不遵循一般的代数法则，在相加减时它们遵从几何运算法则，这样的量叫“物理矢量”。如速度、加速度、位移、力、冲量、动量、电场强度、磁场强度等都是矢量。可用黑体字（例如F）或带箭头的字母来表示矢量。
二、场
如果在全部空间或部分空间里的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，就说在这个空间里确定了该物理量的一个场Field。
如果这物理量是数量，就称这个场为数量场；如果是矢量，就称这个为矢量场。
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等值线和等值面
在数量场中，为了直观地研究数量在场中的分布情况，引入了等值线和等值面的概念。所谓的等值线或等值面，是指由场中取相同数值的点所组成的曲线或曲面。例如，等温线、等温面，等位线和等位面等。
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矢量线和矢量面
在矢量场中，为了直观表示矢量的分布情况，引入了矢量线和矢量面的概念。所谓的“矢量线”，乃是这样的曲线，在它上面每一点处，曲线都和对应于该点的矢量相切。例如，速度场中的“流线”，磁力场中的“磁力线”。
对于矢量场中的任意一条曲线C（非矢量线），在其上的每一点处，也皆有且仅有一条矢量线通过，这些矢量线的全体，就构成一张通过曲线C的曲面，称为矢量面。如果曲线C闭合网赚项目，那么通过C的矢量面就构成一管形曲面，又称之为矢量管。
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均匀场和定常场
如果同意时刻场内各点的函数值相等，则称此场为均匀场。如果场内函数值不依赖时间，则称此场为定常场。
三、方向导数和梯度
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方向导数 Directional Derivative
某一固定时刻t=t0物理量的标量场为φ(r, t0)。在场内任取一点M，过M点作曲线l，有下列极限：
上式表示标量函数φ在M点上沿曲线l方向的函数变化，其中M’是l上与M无限临近的点。
以符号
表示上式极限，称为标量函数在M点上沿曲线l的方向导数，即：
过M点可以作无穷多个方向，每个方向都有对应的方向导数。如果所有方向上的方向导数都被知晓，那么函数φ在M点邻域内的变化状况便完全清楚了。
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梯度 Gradient
梯度问题可以认为是将一维的斜度扩展到了三维，称之为梯度。
在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。
标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率，即方向导数最大值。
在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。
梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。
梯度运算的对象是标量，运算出来的结果是向量。
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梯度的解释 Explanation
假设有一个房间冲量是标量还是矢量，房间内所有点的温度由一个标量场φ给出的，即点(x, y, z)的温度是φ(x, y, z)。假设温度不随时间改变。然后，在房间的每一点，该点的梯度将显示变热最快的方向。梯度的大小将表示在该方向上变热的速度。
考虑一座高度在(x, y)点是H(x, y)的山。H在一点的梯度是在该点坡度（或者说斜度）最陡的方向。梯度的大小告诉我们坡度到底有多陡。
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梯度的主要性质
① 梯度gradφ描述了场内任意一点M邻域内函数φ的变化情况，它是标量场不均匀性的度量；
② 梯度gradφ的方向与等值面的法线方向n重合，且指向梯度φ增长的方向，大小是等值面法向方向上的导数
；
③ 梯度矢量gradφ在任意方向l上的投影等于该方向的方向导数；
④ 梯度gradφ的方向，即等值面的方向是函数φ变化最快的方向；
⑤ 梯度gradφ在直角坐标系的表达式为
⑥ 由梯度给出全微分为
其中dr=(dx, dy, dz)。
四、点积、叉积
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点积 Dot Product
点积，也叫向量的内积或数量积。顾名思义，求下来的结果是一个数。向量a·向量b=|a||b|cos。
在物理学中，已知力与位移求功，实际上就是求向量F与向量S的内积，就要用点乘。
一般认为点积的几何意义是向量a到向量b的投影。这在论述上有一定的问题，应该说成向量a在单位向量b上的投影。
力学意义：一物体在力F的作用下，沿直线AB移动了S，F与AB的夹角为α冲量是标量还是矢量，如图，则力对物体做的功为:
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叉乘 CrossProduct
叉乘，也叫向量的外积、向量积。顾名思义，求下来的结果是一个向量，记这个向量为c。向量c的模可表示为|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin，向量c的方向与向量a和b所在的平面垂直，且方向要用“右手法则”判断（用右手的四指先表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向）。
因此，向量的外积不遵守乘法交换率，因为向量a×向量b=-向量b×向量a。在物理学中，已知力与力臂求力矩，就是向量的外积，即叉乘。
物理意义：力矩，如下图，O为一根杠杆L的支点，有一个力F作用在其上点P处，F与OP的夹角为θ，由力学规定，力F对支点O的力矩是一个向量M，它的模是:
叉积模的几何意义：表示以向量a和向量b为邻边的平行四边形的面积。
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混合积 Mixed Product
定义：已知三个向量
，数量
称为这三个向量的混合积。
向量混合积的几何意义：它是一个数，它的绝对值表示以向量
为棱的平行六面体的体积。
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向量关系
① 两向量平行
② 两向量垂直
③ 与
同时垂直的向量可取作
。
④ 三向量共面，则其混合积为0。
五、散度和高斯定理
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散度
散度的数学定义：在连续可微的矢量场A中，对于包含某一点(x,y,z)的小体积ΔV，其闭合曲面为S，定义矢量场A通过S的净通量与ΔV之比的极限：
为矢量场A在该点的散度divA(divergence ofA)。
散度的运算对象是向量，运算出来的结果是标量。
散度是标量，物理意义为通量源密度。具体可以理解为：矢量A的散度是对单位体积而言矢量A通过体积元V的界面S的通量。
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高斯定理
散度的定义式，其和高斯定理Gauss Theorem有一定的渊源。
高斯定理的定义是：对任意闭合曲面S及其包围的体积V，下述积分变换成立：
即，矢量场A通过任意闭合S的净通量，等于它在S所包围的体积V内各点的散度的积分。可知，只要对矢量场A的散度定义式稍加变形，就可以得到高斯定理。
六、环量、旋度和斯托克斯定理
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环量 Circulation
环量的定义：设有矢量场A(r, t)，则沿场中某一封闭的有向曲线l的曲线积分，(gamma, γ)
叫做矢量A按积分所取方向曲线l的环量。其中：
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旋度 Curl
旋度的数学定义：在连续可微的矢量场A中，我们设想将A绕着某个很小的闭合路径L积分，并且约定：面积元ΔS的方向
，与路径积分绕行方向符合右旋规则。令L不断收缩致使ΔS的大小趋于零，定义极限
为矢量场A的旋度矢量，即▽×A (curl of A, rotation of A)。
旋度的运算对象是向量，运算出来的结果是向量。
旋度是矢量，其物理意义为环量密度，可以从斯托克斯公式里理解。旋度为零，说明是无旋场；旋度不为零时，则说明是有旋场。
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斯托克斯定理
旋度的定义可以和斯托克斯定理联系起来。
斯托克斯定理的定义：对任意闭合路径L及其围成的曲面，下列积分变换成立：
即，矢量场A沿任意闭合路径L的环量，等于它在L所围的任意曲面S上各点旋度的面积分。
七、哈密尔顿算子和拉普拉斯算子
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哈密尔顿算子 Hamiltonian Operator
① 哈密尔顿算子▽的定义
直角坐标系：
② 基于哈密尔顿算子的梯度、散度和旋度
设标量a=a(x, y, z)，则：
设
，则：
③ 高斯公式和斯托克斯公式可分别写成：
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拉普拉斯算子Laplace Operator
其中：
称之为拉普拉斯算子。
八、物质导数
物质导数 material derivative（也被称为随体导数）的定义：Rate of change within a particular materialpoint (whose spatial coordinates vary with time).
对于定常流，物理量f仅随空间位置r变化。根据链式法则Chain Rule，
对于非定常流，物理量f不仅随空间位置r变化，同样也是时间t的函数。根据链式法则Chain Rule：
对上式左右除以dt，得
就是速度向量v，则
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