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摘要：本节我们来介绍一下矩阵方程的相关问题网赚项目，对于矩阵方程是我们在考试中很容易考察的一个，换个角度看，当X可逆时，这个矩阵方程不就是相似矩阵的问题吗，那么本节就和岩宝来一起探究一下.
例1.设分别是复数域上的级，级矩阵，证明：矩阵方程只有零解的充要条件是没有公共特征值.
证明：充分性，因为没有公共特征值，所以的特征多项式和的特征多项式没有公共特征根，即
于是存在使得
代入矩阵可得
即有,即可逆.
由可得,故.
必要性. 设为矩阵的公共特征值矩阵可逆的条件是什么，由于
从而也有公共特征值,设
令则
矛盾.
例2.(2020武汉大学)已知为正定矩阵，若矩阵方程有唯一解,证明：是正定矩阵.
证明：由于有唯一解，所以
上式取转置结合为正定矩阵可知
这说明也是矩阵方程的解，根据唯一解可知,接下来我们对于两边取共轭得
则也为矩阵方程的的解,即.
即为实对称矩阵，进而B的特征值均为实数，进而的特征值均为实数，现在任取为B的一个实特征值，为对应的实特征向量，即有
那么取转置也有,即有
由于为正定矩阵，所以0,alpha^{T}Calpha>0″ data-formula-type=”inline-equation”>,从而结合上式可知0″ data-formula-type=”inline-equation”>,即的特征值均大于0，所以也为正定矩阵.
这里岩宝也给出一个类似的题目，请大家作为练习；
练习1.已知为级矩阵，A的特征多项式为,证明：可逆的充要条件是无公共特征值.
例3.设分别是数域上的级，级方阵，证明：如果与有个两两不等的公共特征值，那么矩阵方程有秩为r的矩阵解.
证明：设两两不等，它们是与的公共特征值，则它们也是的特征值，从而在中有非零向量使得
同时，在中有非零向量使得,于是,现在令
则C是矩阵矩阵可逆的条件是什么，满足
这说明C是矩阵方程的解，下面证明;
我们注意到是线性无关的，同时也是线性无关的，所以
一方面我们有
另一方面根据秩不等式可得
所以
练习2.给定实矩阵为
求一个可逆矩阵，使得.
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