1、小波降噪原理
小波分析的重要应用之一就是用于信号降噪。我们知道，一个含噪的一维信号模型可以表示为下图。其中s(k)为含噪信号，f(k)为有用信号标准差的符号，e(k)为噪声信号。这里我们认为e(k)是一个 1 级高斯白噪声，通常表现为高频信号，而实际工程中f(k)通常为低频信号或者是一些比较稳定的信号。
因此我们可按如下的方法进行降噪处理。首先对信号进行小波分解， 一般地，噪声信号多包含在具有较高频率的细节中，从而，可利用门限阈值等形式对所分解的小波系数进行处理，然后对信号进行小波重构即可达到对信号降噪的目的。对信号降噪实质上是抑制信号中的无用部分，恢复信号中有用部分的过程。
小波信号降噪一般分为以下三个步骤：
(1)确定小波分解的层数，对信号进行分解。
(2)确定各个分解层下细节信号的阈值，对细节信号进行阈值量化处理。
(3)利用阈值处理后的细节信号和逼近信号进行重构，得到降噪后的信号。
2、降噪阈值的选取
如何选择阈值及如何进行阈值量化是降噪的关键步骤。目前阈值处理方法主要有软阈值和硬阈值降噪方法。
硬阈值降噪方法将小波分解细节信号中绝对值大于阈值的系数保留，而把绝对值小于阈值的系数置为零。软阈值降噪方法对硬阈值方法进行了平滑处理。本文主要采用软阈值降噪，其表达式如下，式中sgn()函数为符号函数。
具体阈值的确定我们有两种选择策略，全局阈值降噪方法和自适应降噪。全局阈值降噪指小波分解后各层高频采用相同的阈值进行降噪。自适应降噪之指小波分解后各层高频根据自身的情况选取不同的阈值进行降噪。如果我们采用自适应降噪，则各层的阈值按下式进行计算。
其中为第层细节信号采用的阈值，为其标准差。 c是一个经验常数，通常取值为2.5－3.5之间。
3、降噪效果评价标准
信噪比是我们衡量降噪效果是否理想的标准，然而原始信号通常是和噪声叠加出现、无法分离的。因此为了衡量降噪结果与原始信号的相似程度，我们引入了两个标准：
(1) 降噪结果与原始信号的能量比。
能量比反映了降噪后信号与原始信号能量的比值。降噪效果越好，包含的能量就越少，所以能量比越小说明降噪效果越好。
(2)降噪信号与原信号间的标准差。
标准差反应了降噪后信号与原始信号的偏离程度。降噪效果越好，与原始信号的偏离程度就会越大，所以标准差越大说明降噪效果越好。式中为降噪结果信号，为原信号。
4、实例
构造一个包含 1024 个点的 Doppler 信号及其含噪信号，信噪比为7。下面分别用传统小波和第二代小波分别对信号进行降噪。传统小波选用 db10 小波，进 行 3 层小波分解，降噪阈值选用软阈值、自适应降噪；第二代小波选用 3 层小波 分解，预测器、更新器长度选取为 8，降噪阈值采用软阈值、自适应降噪，经验值c取为 3。
分别计算 db10 小波及第二代小波的能量比、标准差。Db10 小波的能量比、 标准差为 0.9885，27.9678；第二代小波的能量比、标准差为 0.9851标准差的符号，35.3722。 从降噪结果上看两种方法差别并不是很大，但我们还是可以看出在 0.4、0.8 秒附近第二代小波更平滑一些；从能量比和标准差的对比可以看出第二代小波更为理想。
5、结论
小波分析由于其可以按频率分解为不同频段首码项目，因此可以对分解后的高低频段分别处理从而达到降噪对效果。第二代小波由于其计算复杂度为o(n)，因此用第二代小波进行降噪处理成为工业现场一种非常有效、可行的方案。我们的故障诊断平台已经实现了java版本的降噪处理方法，在实践中取得了非常好的效果，后面我们会陆续介绍第二代小波分析在降噪方面的应用。
